- 特殊数列是考查频率较低。偶尔会出现，考查形式多变，规律灵活，难以归类。近年来特殊数列多考查题干数字位数较多的题型，我们可对此类题型重点掌握。
一、机械拆分
1、题型特征：数列比较奇怪，比如有小数点、根号、位数多、首项数字大等等，且一般作和、作差都无明显规律。
2、解题技巧：
（1）位数较多：考虑拆项，拆分后一般考虑内部加和＋外部联系；比如对于数字1234，可以将其看作1＋2＋3＋4=10，然后寻找规律。
扩展：
一般对数字拆分考虑内部加和再与外部联系寻找规律。以下介绍数字拆分的其他形式，这部分较难。
①组合拆分：组合拆分是指把数列中的每一个数字都拆分成两个数字的和，然后形成新的数列。比如345拆分成340＋5。
②中间拆分：中间拆分是指把数列中的每一个数字从中间拆分成两个或多个数字，然后分别形成新的数列。比如1326拆分成13|26。
③交叉拆分：是指把数列中的每一项的百位和个位，千位和十位分别拆分成两个数字，然后分别形成新的数列。比如4769拆分成6-4=9-7。
（2）特殊符号：小数数列（12.34），带根号数列（22），带加号数列（7＋5）等，以符号为分界线进行拆分，再寻找规律。
二、因数分解
1、题型特征：每一个数都有因数，找不到别的规律再考虑此规律。
2、解题技巧：把数列中的每一个数字拆分成两个数字的乘积的形式，然后分别形成数列。
三、随笔练习
例1：(2017广东) 325、118、721、604、()
A.911
B.541
C.431
D.242
解析
题目无明显特征，且变化趋势忽快忽慢，作和、作差都无明显规律，为非特征数列。
每一项都是三位数，位数较多，考虑拆分之后再看规律，拆分之后考虑各位数字加和。
将每一项拆分之后的各位数字相加求和：3＋2＋5=10，1＋1＋8=10，7＋2＋1= 10，6＋0＋4=10。
故所求项各位数字之和也应为10。
结合选项，只有B项符合。故正确答案为B。
例2：(2020广东选调) 521、232、172、422、()
A.158
B.233
C.397
D.406
解析
题干数列无明显特征，且变化趋势忽快忽慢，作和、作差都无明显规律，为非特征数列。
每一项都是三位数，位数较多，考虑拆分之后再看规律，拆分之后考虑各位数字加和，加和无规律，考虑乘积。
观察数列发现：5×2×1=10，2×3×2=12，1×7×2=14，4×2×2=16。
即每项的各位数字乘积构成公差为2的等差数列。
则该新数列的下一项为16＋2=18。
结合选项，只有B项2×3×3=18符合。
故正确答案为B。
例3：(2022广东) 12，25，310，417，（ ）
A.521
B.526
C.632
D.647
解析
数列变化幅度较大，且均为多位数，考虑拆分。
提取数列中的首位数字为：1、2、3、4，则所求项的首位数字应为5；
剩余数字为：2、5、10、17，是相差3、5、7的多级数列，则下一项应为17＋（7＋2）=26。
因此，所求项为526。
故正确答案为B。
例4：(2020江苏) 2、＋2＋2、＋4＋3、10、＋16＋5、()
A.＋18＋6
B.＋16＋22
C.＋32＋6
D.28
解析
观察数列特征，有特殊符号“＋”，一般以“＋”为分界线进行拆分。
原数列已知项可转化为＋1＋1、＋2＋2、＋4＋3、＋8＋4、＋16＋5。
“＋”前的部分分别为1、2、4、8、16，此数列是公比为2的等比数列，其下一项为16×2=32；
“＋”后的部分分别为1、2、3、4、5，根号下的数字构成公差为1的等差数列，其下一项为5＋1=6。
故所求项为＋32＋6。
故正确答案为C。
例5：(2017吉林) 123456、61234、4612、( )、62、2
A.326
B.261
C.246
D.512
解析
题干数列无明显特征，且前三项数字较大，不考虑作和、作差，为非特征数列，考虑拆分。
先观察数列前两项：有重复的1234出现，6从第一项的个位变为第二项的最高位，第一项倒数第二位的5没有出现在第二项中。
故可猜测规律为前一项的最后一位变为后一项的第一位，前一项的倒数第二位在后一项中不出现。
用剩余项验证，此规律成立。故所求项应为246。故正确答案为C。
例6：(2020江苏) 7.003、13.009、19.027、25.081、31.243、（）
A.36.568
B.36.729
C.37.568
D.37.729
解析
观察数列，发现数列中每个数字均为小数，考虑将每个数字划分为整数部分与小数部分，分别观察整数部分形成的数列和小数部分形成的数列，找出各自的规律。
整数部分数列：7、13、19、25、31、（），此数列是公差为6的等差数列，下一项应为31＋6=37。
小数部分数列：003、009、027、081、243、（），此数列是公比为3的等比数列，下一项应为243×3=729。
则题干所求项为37.729。
故正确答案为D。
例7：(2010湖北30%) 123，139，177，261，463，（ ）
A.627
B.721
C.833
D.999
解析
观察数列无明显规律，且尝试多级数列、递推数列、幂次数列均无明显规律，故考拆分。
数列每项数字拆分成两个数相加的形式。原数列可转化为：120＋3，130＋9，150＋27，180＋81，220＋243，（ ）。＋号前后的数字分别形成两个新数列：
数列①：120，130，150，180，220，后项减前项为10，20，30，40，（ ），是公差为10的等差数列，故数列①的下一项为220+（40+10）=270。
数列②：3，9，27，81，243，是公比为3的等比数列，故数列②的下一项为243×3=729。
故所求项为729＋270=999。
故正确答案为D。
例8：(2014河北42%) 44， 52， 68， 76，92，（）
A.104
B.116
C.124
D.128
解析
数列递增且变化幅度平缓，考虑作差。
后一项减去前一项得：8、16、8、16，呈周期变化，因此推测下一项为8，故所求项=92+8=100。但是并没有答案与之对应，因此考虑其他规律。
每项均包含4因子，考虑因数分解。题干数列可分解成：4×11、4×13、4×17、4×19、4×23。列式左边项均为4，右边项为连续质数列，下一项为29，故题干所求项应为：4×29=116。
故正确答案为B。
例9：(2018天津选调) 0、0、2、12、（ ）
A.8
B.36
C.12
D.32
解析
数列变化幅度不大且大部分呈递增趋势，优先考虑作差，无规律，则考虑因式分解。
大数开始进行因式分解尝试：12=4×3，2=1×2，0=0×0，无规律，但是出现4、2、1、0这些数跟幂次相关。
重新尝试分解：12=22×3，2=12×2，0=02×1，0=(−1)2×0。
分解后的数列左子列为(−1)2、02、12、22，该数列是平方数列，底数是公差为1的等差数列；
右子列为0，1，2，3，是公差为1的等差数列。
故所求项的左子列=(2+1)2=9，右子列=3+1=4，即所求项=9×4=36。
故正确答案为B。