数量规律​

考查频次

数量规律是图形推理中考查最多、变化最多的考点。它可以单一考点命题，也可以两个考点结合命题(如面和线结合的考法)，还可以和其他规律结合命题(如数量规律和属性规律的复合考法)

题型特征

图形元素组成不同，且无明显属性规律。

解题思路

当图形元素组成不同时，常考查属性、数量及其他特殊规律。当题干图形无明显属性规律时，可优先考虑数量规律。常考的数量规律有五种：点、线(笔画)、面、素、角。图形元素组成不同，且无明显属性规律。

一、点数量​

在图形推理中，只需考虑线条相交得到的点(即交点)，不考虑端点，下面五幅图中标灰的点就是交点。

交点中有一类特殊的点——切点，即由相切关系得到的交点，如图5，共有 3个交点，其中有2个点为切点。

当有以下特征图时，可能考察点的数量规律

线条交叉明显(比如米字形)

绕来绕去的一团线

切点(或顶点)较多

注意考察点的形式：比如曲直交点、曲曲交点、直直交点

数点情况：

整体数点：

①交点的数量成等差数列

②交点的数量无序，但是可以排成有序。比如题干给四幅图，前四幅图的交点数量分别为3、1、5、2；即答案选择4个交点的，排成有序

局部数点：分为内部和外部交点、内部线条与外框交点。

例： 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

【分析：】观察发现，题干图形均由圆形外框和内部直线构成，且内部直线与外框有明显交叉，考虑框上交点数，题干图形的框上交点数依次为0、1、2、3，故？处应选择框上交点数为4的图形，排除C项；继续观察发现，题干前三幅图形中均出现三角形，考虑直线数，题干图形的直线数均为3，故？处应选择直线数为3的图形，只有D项符合。故正确答案为D。

二、线数量​

当有以下特征图时，可能考察线的数量规律

多边形、单一直线，优先考虑数直线

圆、弧、单一曲线，优先考虑数曲线

注意：

1、弧线出现明显转折，是2条曲线

2、3+2类型题目，可能会考察线的数量求和为定值。

3、九宫格可能会考察①线的数量求和为定值；②每行或每列线的数量求和呈等差

4、出现曲线和直线：曲线数、直线数、曲线直线求和或作差

5、平行线：平行线组数、平行线方向

例： （2014深圳）从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

【分析：】思路一：观察发现，题干每幅图均由一个小黑圆和若干直线组成，虽然小黑点的位置在发生移动，但并没有规律。因此观察直线，发现，第一组图直线数分别为3，2，3，相加之和为定值8，第二组前两幅图直线数分别为2，4，因此？处应选择一个直线数为2的图形，只有D项符合。
思路二：观察发现，题干每幅图均由一个小黑圆和若干直线组成，虽然小黑点的位置在发生移动，但并没有规律。再次观察发现，题干出现线线相交，因此考虑数交点。第一组图交点数分别为2，1，2，相加之和等于5，第二组图前两幅图交点数分别为1，3，因此？处应选择一个交点数为1的图形，只有D项符合。

例： 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

【分析：】观察发现，曲线特征明显，考虑数曲线。九宫格，横向规律较为常见，优先考虑。第一行中曲线数依次为1、2、3，呈等差规律；第二行验证，符合规律；第三行应用规律，前两幅图曲线数依次为1、2，只有B项符合。因此，选择B选项。

三、面​

面数量​

面：也称封闭空间、封闭区域，或者更形象地说就是“窟窿”。

数面的特征图：图形被分割、封闭区域明显

注意：如果同时出现数面、数线、数笔画、数点的特征图，优先数面

例： 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

【分析：】观察发现，图2到图4图形均被分割为多个封闭空间，考虑面数量。题干图形的面数量分别为：1、2、3、4、？，则？处应为5个面的图形。A项11个面，排除；B项5个面，当选；C项6个面，排除；D项6个面，排除。故正确答案为B。

特殊面​

面的形状特征：

图形中所有面的形状。下面图①的面都是三角形，图②的面都是四边形。

图形中最大最小面的形状。特别明显的大小面，我们可以将其勾画出来进行对比（注意：可能考察大小面与外框形状相同）。下面图③的最大面是三角形，图④的最大面是四边形。

例： 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

【分析：】第一组图形中面的数量均为4，第二组前两幅图形中面的数量均为5，但选项中面的数量也都为5，所以看面的数量无法得出正确答案。需要我们再进一步观察，第一组图形中的面都是三角形，第二组前两幅图形中的面都是四边形，所以？处也应该选择一个所有面都是四边形的图形。所以答案选D

例： 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

【分析：】图形面的数量依次为4、4、4、5、4，面的数量不存在规律，可进一步观察面的大小，发现图形中存在明显的最大面和最小面，且最大面和最小面的形状相似，A、B项中两个相似的面大小均相同，D中不存在两个相似的面。

面的数量复合​

可能考察面数量和外框边数（是否相等、求和、求差），面数量和交点数

例： （2017广州）请选择最适合的一项填入问号处，使之符合之前四个图形的变化规律。

【分析：】元素组成不同，且无明显属性规律，优先考虑数量规律。图形特征较为明显，窟窿比较多，因此考虑数面，题干图形面数量依次为1、4、2、2、？，无规律，图形均为直线组成，数直线，题干图形直线数量依次为3、8、5、5、？，无规律。再观察发现，题干图形外框的直线数为3、6、4、4、？，观察数字发现，每个图形外框直线数与该图形面数量之差均为2。因此？处也应选择一个外边框线条数量和面数量差为2的选项，只有B项符合。

四、角​

角数量​

一般考查图形内部包含的角，即0~180°之间的角，如出现五角星只有5个角，考查角数量的明显特征。

但只看内部角数量无规律时，可以考虑数外部的角但此种考法较为特殊（绝大多数题目只考内角），不常见，一般不优先考虑。

角还可以细分为锐角、直角和钝角。

扇形、多边形故意留缺口也可以看作角、优先考虑数角。

图形中出现直角时（H、工、T 字型的修正和相似图形，电话卡图形），可优先关注直角。

例： 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

【分析：】观察发现，图 4 与其他图形明显不同，从该图特征入手。该图由两条互相垂直的直线组成，则相关的数量类规律只有点、线和角。再观察发现题干和选项中多次出现直角，所以优先考虑直角的数量规律。题干给出的四个图形中直角的个数分别为 1、2、3、4，则问号处图形的直角个数应该是5，只有 D 项符合。故正确答案为 D。

角的特殊考法(不常考)​

外框直角数：内部凌乱或有图形没内部，则看外框，考虑外框的线条、外框的角数

直角复合旋转：直角数量复合角度旋转。

角与元素标记复合：元素标记锐角。

例： (2023浙江C)从所给的四个选项中选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

【分析：】图形元素组成不同，且无明显属性规律，考虑数量规律。观察发现，题干每幅图都是由直线构成，存在直线相交且出现明显的直角，优先考虑数直角数。图形大多分为内、外两部分，考虑分开数直角数。外框图形直角数依次为0、1、2、3、4、“？”，所以“？”处应该选择一个外框直角数为5的图形，只有B项符合。

例： (2015广东乡镇)从所给的四个选项中，选择最合适的一项填在问号处，使之呈现一定的规律性：

【分析：】出现小黑点，考虑功能元素，考虑点与其他元素之间的位置关系，发现所有黑点都仅出现在图形的锐角处，A、B 两项存在直角处小黑点，C 项存在钝角处小黑点，排除 A、B、C 三项。

例： (2023北京)请从四个选项中选出最恰当的一项填在问号处。

【分析：】元素组成不同，且无明显属性规律，优先考虑数量规律。观察发现，每幅图均由直线构成，且每幅图中均由横线和竖线构成一个直角，且直角位置顺时针旋转，分别位于右下、左下、左上、右上、右下，故？处直角位置应在左下，故正确答案为A。

五、元素（部分）数量​

元素，可细分为个数、种类数和部分数3种情况，需要注意：连在一起的算作一部分。

图1，元素的个数是5，元素种类数是3(正方形、五角星、圆)，部分数是5；

图2，元素的个数是5，元素种类数是4(正方形、五角星、圆、桃心)，部分数是5

图3，元素的个数是3，元素种类数是3(五角星、四角星、椭圆)，因为这三种小元素都连在了一起，因此部分数是1

当图形由很多独立的小元素构成时，可优先考虑数素，可以数元素的个数、种类;出现黑色粗线条图形或者生活化图形(如品牌logo等)，优先数部分数。

题目特点：

元素凌乱

多个小图形或多个线条

加粗黑体

例： 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

【分析：】图形元素组成不同，且无明显属性规律，考虑数量规律。观察题干图形内部小元素种类，依次为1、2、3、？，则？处应为内部有4种小元素的图形，只有D项符合。故正确答案为D。

六、笔画​

题型：大部分考一笔画图形或者笔画数量呈等差

笔画数的特征图：五角星、“日”字及其变形、“田”字及其变形、多圆相切、多圆相交以及出现大量端点时，优先考虑笔画数

如何判断图形最少可以通过几笔画出来？

对于简单图形，可通过画图的方式直接得出，而对于复杂图形，可通过下列公式进行计算：

连通图的笔画数 = 奇点数 ÷2。其中含 0 个奇点的连通图可一笔画完成。

连通图

如果图中任意两点都是连通的，那么该图被称作连通图。这一概念很专业，实际做题时，可大致理解为图形中的线条连在了一起。

奇点

若以一个点为起点，延伸出的线条数为奇数，则该点为奇点。

偶点：若以一个点为起点，延伸出的线条数为偶数，则该点为偶点。

注意：奇点包括端点！

示例：

图 1 中，以点 1、2、3、4 为起点，延伸出来的线都是 2 条，偶数条，因此它们均为偶点；以点 5、6 为起点，延伸出来的线都是 3 条，奇数条，因此它们均为奇点。图 1 奇点数为 2，可以一笔画完成

图 2 中，以点 1、2、3、4 为起点，延伸出来的线都是 2 条，偶数条，因此它们均为偶点；以点 6 为起点，延伸出来的线为 4 条，偶点；以点 5 为起点，延伸出来的线为 3 条，奇点；以点 7 为起点，延伸出来的线为 1 条，奇点。图 2 奇点数为 2，可以一笔画完成。

图 3 中，以点 1、2、3、4 为起点，延伸出来的线都是 2 条，偶点；以点 5 为起点，延伸出来的线为 4 条，偶点；以点 6、7、8、9 为起点，延伸出来的线为 3 条，奇点。图 3 奇点数为 4 个，笔画数 =4÷2=2，故须两笔画才能完成

六、随笔练习​

例1：从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

※解析：观察图形交点明显，都是两个图形且相交的。第一组图形中，两图交点数量都为2；第二组图形，两图交点数量交点数量为3，那么第三个图形的交点数量也应为3，只有C符合。

例2：请从所给的四个选项中，选择最合适的一项填在问号处，使之呈现一定的规律：

※解析：组成元素不同，优先考虑数量类或属性类，线条的特征比较明显，考虑数线。九宫格，横向规律较为常见，优先考虑。第一行图形的线条数依次为1、2、3，呈等差规律，第二行图形的线条数依次为4、5、6，符合规律，第三行图形的线条数依次为7、8，问号处图形的线条数应为9，只有B项符合。

例3：（2019 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处， 使之呈现一定的规律性：

※解析：题干图形元素组成不同，且封闭面明显，“窟窿”较多，考虑数面。题干面数量依次为 2、3、4、5、6、？，故“？”处应该选择面数量为 7 的图形，对应 C 项。

例4：（2017河南）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

※解析：图形分割明显，可以考虑面数量规律。面数量分别为3、4、5、6、7、？，问号处需填8个面的图形，选项面数量分别为9、8、8、8，排除A项。考虑面考点细化发现，每个图形被分割最大面均为三角形，故答案为B。

例5：请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

※解析：题干中出现较多折线和改造图，考虑数角。观察已知的图形，角的个数分别为3、5、7、9，形成等差数列，因此问号处的图形应该有11个角，只有C项符合。故正确答案为C。

例6：从所给的四个选项中，选择最合适的填入问号处，使之呈现一定的规律性（ ）。

※解析：一般文字类优先数面和笔画，明显无规律。观察发现第一行汉字都由1部分组成；第二行汉字都由2部分组成；第三行前两个汉字都由3部分组成，故？处也应为3个部分，只有D项符合。故本题答案为D项。

例7：从四个图中选出唯一的一项，填入问号处，使其呈现一定的规律性。

※解析：图形元素组成不同，无明显属性规律，考虑数量规律。观察发现，图2为“田”字变形，图5有多个端点，均为笔画数特征图，故考虑笔画数。题干均为两笔画图形，A项为两笔画图形，B项为三笔画图形，C项为四笔画图形，D项为一笔画图形，只有A项满足。

例8：从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

※解析：第一段中，所有图形中均有 2 组平行线；第二段中，前两个图形中均存在 3 组平行线，所以问号处的图形中也应存在 3 组平行线，只有 A 项符合。

例9：把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：

A.①③④，②⑤⑥

B.①②⑥，③④⑤

C.①③⑤，②④⑥

D.①④⑥，②③⑤

※解析：本题为分组分类题目。观察图形发现，多边形内部被线条分割，优先考虑数面的数量，但题干图形的面数量都是5，无法分组。继续观察发现，图①③⑤中存在明显最小的面，且最小的面的形状均与图形外轮廓形状相同，图②④⑥中存在明显最大的面，且最大的面的形状均与图形外轮廓形状相同，故①③⑤一组，②④⑥一组。 故正确答案为C。