排列组合及概率

排列组合是概率的基础，通过排列组合的学习，才能正确计算概率题目。

一、排列组合​

定义及公式​

(1)组合的定义和基础公式:

从n个不同元素中，取m个（无顺序），所有的情况数可记为Cnm;
计算公式：Cnm=Cnn−m=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)m(m−1)(m−2)...2×1

例如：从五人中选三人出席活动，所有情况= C53=5×4×33×2×1=10
Cnm=Cnn−m可以理解为“五人中选三人剩两人”与“五人中选两人剩三人”的情况数相同。

(2)排列的定义和基础公式:

从n个不同元素中，取m个进行排序（有顺序），所有的情况数可记为Anm;
计算公式：Anm=n!(n−m)!=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)

例如从5人中选3人站排，所以情况=A53=5×4×3=60

”分类“与”分步“​

(1)加法原理（分类计算）：
  如果完成一件任务，有3种方法选择，第一种方法有3种人员选择，第二种方法有2种人员选择，第三种方法有2种人员选择，那完成该任务即有3+2+2=7种选择。
  关键问题：确定工作的分类方法，完成该工作不需要使用所有方法，选一即可。
(2)乘法原理（分步计算）：
  如果完成一件任务，有3个步骤，第一个步骤有3种选择，第二个步骤有2种选择，第三个步骤有2种选择，那完成该任务即有3×2×2=12种选择。
  关键问题：确定工作的完成步骤，完成该工作需要做完所有步骤，缺一不可。

解题原则​

  有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手，全部减不符

特殊方法​

①捆绑法：将要求相邻的元素捆绑在一起看成一个元素去进行运算，就叫做捆绑法。

第一步：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要先将要求在一起的部分视为一个整体。

第二步：将这个整体与其他元素一起进行排列。

第三步：由于两个被“捆绑”的元素内部也有排列，最后要“解绑”，把捆绑的元素内部全排列(即几个元素就A几几)。

例子：6个人排队，甲乙相邻，丙丁也要相邻的排法有多少种

分析：甲乙要求相邻，那就将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。丙丁也要求相邻，那也将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。甲乙一个主体，丙丁一个主体，最后还剩下两个主体。所以现在总的有四个主体那就进行全排列A44=24，然后两个“捆绑”的元素“解绑”排列，即A22×A22=4，所以24×4=96种，

②插空法：元素不相邻问题

第一步：将剩余元素(除不相邻元素)排序。

第二步：再找出能够插入的空位。

第三步：将不相邻的元素插入到不同的空位中。

例子：把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?(

分析：题目当中要求“每侧的柏树数量相等且不相邻”，满足插空法适用题型。两侧数量相同即一侧柏树3棵，松树6棵，分步进行，先安排一侧再安排另一侧，采用插空法。优先安排6棵松树，因为松树完全相同，所以有一种方法，再将3棵柏树插入空中，因为松树要在两端，所以共5个空，C53=10，两侧都安排分步共10×10=100种方法。

③插板法：

题型标志：分相同的东西为若干组，每组至少分1个

解题方法：将n个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，有Cn−1m−1种分法。

原理：n个相同东西排成一列，形成 n-1 个内部空，需要分给 m 个主体，那只需要把排成一列的东西分成 m 堆，那只需要在 n-1 个内部空中插入 m-1个板即可形成。

注意：若要求 "每人至少分a个"，我们可以先给每个主体至少分 a-1 个，此时东西还剩 n-m×(a-1)，问题直接转换成n-m×(a-1)个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，带入公式有Cn−am+m−1m−1种分法。

例子：将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有( )种分配方法

分析：题目为7个大小相同的桔子，元素相同，分配给4个小朋友，每人至少一个，满足隔板法使用条件，可直接套用公式，方法数有C63=20

④错位排列：

比如学校要考试，一共有18个班级，而学校规定，每个班的班主任不能回到自己班级监考，那么此时，班主任能够选择的是除了自己班以外的其他17个班级。这就是错位排列。

首先从数量少的开始，若只有1个班级，1个班主任，没有其他班级可以监考，所以有0种方式完成此事

若有2个班级，那么我们称之为A、B班，假设你是A班的班主任，现在要求不能监考自己的班级，只能去B班；同样假B班去A班，因此有1种方式完成此事;

继续假设若有3个班级A、B、C；此时只有两种方式（B班主任、C班主任、A班主任）、（C班主任、A班主任、B班主任）

但再往上4个班级、5个班级甚至更多……如果用这种枚举的方式去做，就很难完成了

公式：Dn=(n−1)(Dn−1+Dn−2)

只需要记住n=1、2、3、4、5、6取值，表如下：

n	1	2	3	4	5	6
Dn	0	1	2	9	44	265

⑤环形排列：

问法：n个元素围成一圈，问有多少种排列方法?

注意：计算时需要剔除重复的排列，比如abcde，bcdea，cdeab，deabc，eabcd，这五种围成环都是一种

直接用公式：Annn=An−1n−1

例子：(2010 新疆)5 个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少种不同方法

分析：带入公式A5−15−1=24种方法

二、概率​

定义及公式​

  概率即某种情况发生的可能性，一般以0～1之间的实数来表示；
  其公式为：某种情况发生的概率=满足条件的情况数总的情况数满足条件的情况数总的情况数 = 1 - 某种情况不发生的概率
  遇到正向情况较复杂的，可以逆向来计算；
  从公式出发也不难看出，为什么我们前面说排列组合是概率的基础，概率的公式中分子分母都在求情况数，都是在一定条件下的排列组合；
  当然，除排列组合外，还有一种情况数无穷多或这无法计数，则可以通过区域面积或者长度来计算概率，即为涉及到了几何图形的概率，这个考查较少：

三、随笔练习​